Question

某沿海地區養殖的一種特色海鮮上市時間僅能持續5個月，預測上市初期和后期會因供不應求使價格呈持續上漲態勢，而中期又將出現供大于求使價格連續下跌．現有三種價格模擬函數：
①f（x）=p•q^x；
②f（x）=px²+qx+1；
③f（x）=x（x-q）²+p．（以上三式中p、q均為常數，且q＞1）
（I）為準確研究其價格走勢，應選哪種價格模擬函數，為什么？
（Ⅱ）若f（0）=4，f（2）=6，求出所選函數f（x）的解析式（注：函數定義域是[0，5]．其中x=0表示8月1日，x=1表示9月1日，…，以此類推）；
（Ⅲ）為保證養殖戶的經濟效益，當地政府計劃在價格下跌期間積極拓寬外銷，請你預測該海鮮將在哪幾個月份內價格下跌．

Answer 1

分析：（I）利用價格呈現前幾次與后幾次均連續上升，中間幾次連續下降的趨勢，故可從三個函數的單調上考慮，前面兩個函數沒有出現兩個遞增區間和一個遞減區間，應選f（x）=x（x-q）²+p為其模擬函數；
（II）由題中條件：f（0）=4，f（2）=6，得方程組，求出p，q即可，從而得到f（x）的解析式；
（III）確定函數解析式，利用導數小于0，即可預測該果品在哪幾個月份內價格下跌．

解答：解：（I）因為f（x）=pq^x是單調函數，f（x）=px²+qx+1，只有兩個單調區間，不符合題設中的價格變化規律
在f（x）=x（x-q）²+p中，f′（x）=3x²-4qx+q²，
令f′（x）=0，得x=q，x=

q

3

，即f（x）有兩個零點，可以出現兩個遞增區間和一個遞減區間，符合題設中的價格變化規律，所以應選f（x）=x（x-q）²+p為價格模擬函數；
（II）由f（0）=4，f（2）=6，得

p=4 2(2-q)2+p=6  q＞1

，∴p=4，q=3
（III）f（x）=x³-6x²+9x+4（0≤x≤5，且x∈Z）．
由f′（x）=3x²-12x+9≤0得：1≤x≤3，
由題意可預測該果品在9、10、11月份內價格下跌．

點評：本題考查函數模型的確定，考查函數解析式，考查利用數學知識解決實際問題，屬于中檔題．