Question

【題目】已知點P到圓（x+2）2+y2=1的切線長與到y軸的距離之比為t（t＞0，t≠1）；

（1）求動點P的軌跡C的方程；

（2）當時，將軌跡C的圖形沿著x軸向左移動1個單位，得到曲線G，過曲線G上一點Q作兩條漸近線的垂線，垂足分別是P1和P2，求的值；

（3）設曲線C的兩焦點為F1，F2，求t的取值范圍，使得曲線C上不存在點Q，使∠F1QF2=θ（0＜θ＜π）.

Answer 1

【答案】（1）（1﹣t2）x2+y2+4x+3=0（2）（3）0＜t＜

【解析】

（1）設P（x，y），則P到圓的切線長為，利用勾股定理列方程化簡即可得出動點P的軌跡C的方程；

（2）當t時，軌跡C的方程化為：．可得曲線G的方程為．可得曲線G的漸近線方程為yx，yx．設Q（x0，y0），P1（m，m），P2（n，n），，．可得m，n．又y02＝2x02﹣5，利用數量積運算性質即可得出；

（3）對曲線C得類型進行討論，得出∠F1QF2的最大值，利用三角恒等變換列不等式解出t的范圍．

解：（1）圓（x+2）2+y2＝1的圓心為M（﹣2，0），半徑r＝1，

設P（x，y），則P到圓的切線長為，

∴t|x|，

∴（x+2）2+y2﹣1＝t2x2，

整理得（1﹣t2）x2+y2+4x+3＝0．

則動點P的軌跡C的方程為：（1﹣t2）x2+y2+4x+3＝0．

（2）當t時，軌跡C的方程為﹣2x2+4x+3+y2＝0，即．

∴曲線G的方程為．

∴曲線G的漸近線方程為yx，yx．

設Q（x0，y0），P1（m，m），P2（n，n），

∴，．

∴m，n，

∵，∴y02＝2x02﹣5，

∴（m﹣x0）（n﹣x0）+（m﹣y0）（n﹣y0）＝（m﹣x0）（n﹣x0）（x0﹣m）（x0﹣n）

（m﹣x0）（n﹣x0），

．

（3）曲線C的方程可化為（1﹣t2）（x）2+y23，

當0＜t＜1時，曲線C為焦點在x軸上的橢圓，橢圓標準方程為1

∴當Q為短軸端點時，∠F1QF2取得最大值，設∠F1QF2的最大值為α，則tan2，

∴cosα1﹣2t2，

若曲線C上不存在點Q，使∠F1QF2＝θ，則θ＞α，

∴cosθ＜1﹣2t2，解得0＜t．

當t＞1時，曲線C為焦點在x軸的雙曲線，∴0＜∠F1QF2≤π，

∴當0＜θ＜π時，曲線C上始終存在的Q使得∠F1QF2＝θ．

綜上，當0＜t時，曲線C上不存在點Q，使∠F1QF2＝θ．