Question

一列火車自A城駛往B城，沿途有n個(gè)車站(包括起點(diǎn)站A和終點(diǎn)站B)，車上有一節(jié)郵政車廂，每停靠一站便要卸下前面各站發(fā)往該站的郵袋各一個(gè)，同時(shí)又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個(gè)，試求：

(1)列車從第k站出發(fā)時(shí)，郵政車廂內(nèi)共有郵袋數(shù)是多少？

(2)第幾站的郵袋數(shù)最多？最多是多少？

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)列車從各站出發(fā)時(shí)郵政車廂內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個(gè)數(shù)列{an} 　　(1)由題意得：a1＝n－1，a2＝(n－1)＋(n－2)－1 　　a3＝(n－1)＋(n－2)＋(n－3)－1－2． 　　在第k站出發(fā)時(shí)，前面放上的郵袋共：(n－1)＋(n－2)＋…＋(n－k)個(gè) 　　而從第二站起，每站放下的郵袋共：1＋2＋3＋…＋(k－1)個(gè) 　　故ak＝(n－1)＋(n－2)＋…＋(n－k)－[1＋2＋…＋(k－1)] 　　＝kn－k(k＋1)－k(k－1)＝kn－k2(k＝1，2，…，n) 　　即列車從第k站出發(fā)時(shí)，郵政車廂內(nèi)共有郵袋數(shù)kn－k2(k＝1，2，…，n)個(gè) 　　(2)ak＝－(k－)2＋n2　　當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，k＝n時(shí)，最大值為n2． 　　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，k＝(n－1)或k＝(n＋1)時(shí)，最大值為(n2－1)． 　　所以，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，第站的郵袋數(shù)最多，最多是n2個(gè)； 　　當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，第或第站的郵袋數(shù)最多，最多是(n2－1)個(gè)