Question

如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，側棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為．
（1）求側面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值；
（3）問在棱AD上是否存在一點F，使EF⊥側面PBC，若存在，試確定點F的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）取AD中點M，設PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，設AB=a，則可利用tan∠PAO表示出AO和PO，進而根據求得tan∠PMO的值，則∠PMO可知．
（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．根據AO⊥BO，AO⊥PO判斷出AO⊥平面PBD，進而可推斷AO⊥OE，進而可知進而可知∠AEO為直線PD與AE所成角，根據勾股定理求得PD，進而求得OE，則tan∠AEO可求得．
（3）延長莫MO交BC于N，取PN中點G，連EG、MG．先證出平面PMN和平面PBC垂直，再通過已知條件證出MG⊥平面PBC，取AM中點F，利用
EG∥MF，推斷出，可知EF∥MG．最后可推斷出EF⊥平面PBC．即F為四等分點．
解答：解：（1）取AD中點M，設PO⊥面ABCD，連MO、PM，則∠PMO為二面角的平面角，∠PAO為側棱PA與底面ABCD所成的角，，
設，，
∴∠PMO=60°．
（2）連OE，OE∥PD，∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．
．
∵
∴
（3）延長莫MO交BC于N，取PN中點G，連EG、MG．
．
又
取AM中點F，∵EG∥MF∴
∴EF∥MG．
∴EF⊥平面PBC．
即F為四等分點
點評：本題主要考查了二面角及其度量，解題的關鍵是通過巧妙設置輔助線找到二面角．