Question

．如圖所示，正四棱錐P－ABCD中，O為底面正方形的中心，側棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為．

(1)求側面PAD與底面ABCD所成的二面角的大小；

(2)若E是PB的中點，求異面直線PD與AE所成角的正切值；

(3)問在棱AD上是否存在一點F，使EF⊥側面PBC，若存在，試確定點F的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：(1)取AD中點M，連接MO，PM，

依條件可知AD⊥MO，AD⊥PO，

則∠PMO為所求二面角P－AD－O的平面角．

∵ PO⊥面ABCD，

∴∠PAO為側棱PA與底面ABCD所成的角．

∴tan∠PAO＝．

設AB＝a，AO＝a，

∴ PO＝AO·tan∠POA＝a，

tan∠PMO＝＝．

∴∠PMO＝60°．

(2)連接AE，OE， ∵OE∥PD，

∴∠OEA為異面直線PD與AE所成的角．

∵AO⊥BD，AO⊥PO，∴AO⊥平面PBD．又OE平面PBD，∴AO⊥OE．

∵OE＝PD＝＝a，

∴tan∠AEO＝＝．

(3)延長MO交BC于N，取PN中點G，連BG，EG，MG．

∵BC⊥MN，BC⊥PN，∴BC⊥平面PMN．

∴平面PMN⊥平面PBC．

又PM＝PN，∠PMN＝60°，∴△PMN為正三角形．∴MG⊥PN．又平面PMN ∩平面PBC＝PN，∴MG⊥平面PBC．

取AM中點F，∵EG∥MF，∴MF＝MA＝EG，∴EF∥MG．

∴EF⊥平面PBC．點F為AD的四等分點．