Question

設集合A=[0，

1

2

)，B=[

1

2

，1]，函數f(x)=

x+ 1 2 ，x∈A 2(1-x)，x∈B

，若x₀∈A，且f[f（x₀）]∈A，則

1

x0

的取值范圍是

[2，4）

．

Answer 1

分析：先求出f（x₀），然后按f（x₀）∈A，f（x₀）∈B兩種情況進行討論求出f[f（x₀）]，再根據f[f（x₀）]∈A可得x₀的范圍，進而求得

1

x0

的取值范圍．

解答：解：∵x₀∈A，∴f（x₀）=x0+

1

2

，
（1）當x0+

1

2

∈A，即-

1

2

≤x₀＜0時，f[f（x₀）]=f（x0+

1

2

）=x₀+1，
又f[f（x₀）]∈A，所以0≤x₀+1＜

1

2

，解得-1≤x₀＜-

1

2

，此時無解；
（2）當x0+

1

2

∈B，即0≤x₀≤

1

2

時，f[f（x₀）]=f（x0+

1

2

）=2[1-（x0+

1

2

）]=1-2x₀，
又f[f（x₀）]∈A，所以0≤1-2x₀＜

1

2

，解得

1

4

＜x0≤

1

2

，
又x₀∈A，∴

1

4

＜x0＜

1

2

，
故2＜

1

x0

＜4，
故答案為：（2，4）．

點評：本題考查分段函數的求值，考查分類討論思想，考查學生的運算能力，屬中檔題．