Question

在數列{a_n}中，a₁=1，a₂=1，a_n+1=λa_n+a_n-1
（I）若是公比為β的等比數列，求α和β的值．
（II）若λ=1，基于事實：如果d是a和b的公約數，那么d一定是a-b的約數．研討是否存在正整數k和n，使得ka_n+2+a_n與ka_n+3+a_n+1有大于1的公約數，如果存在求出k和n，如果不存在請說明理由．

Answer 1

（I）∵數列{b_n}是公比為β的等比數列，∴b_n=βb_n-1，∴a_n+1-αa_n=β（a_n-a_n-1）…（2分）
即a_n+1=（α+β）a_n-αβa_n-1，又，
∴…（4分）∴α，β是方的兩根，
∴…（6分）
（II）假設存在正整數k，n使得ka_n+2+a_n與ka_n+3+a_n+1有大于1的公約數d，
d也是（ka_n+3+a_n+1）-（ka_n+2+a_n）即k（a_n+3-a_n+2）+k（a_n+1-a_n）的約數，
依題設a_n+3-a_n+2=a_n+1，a_n+1-a_n=a_n-1，
∴d是ka_n+1+a_n-1的約數…（8分）
從而d是ka_n+2+a_n與ka_n+1+a_n-1的公約數
同理可得d是ka_n+a_n-2的約數依此類推，d是ka₄+a₂與ka₃+a₁的約數…（10分）
又a₁=1，a₂=1，故a₃=2，a₄=3，
于是ka₄+a₂=3k+1，ka₃+a₁=2k+1 …（12分）
又∵（3k+1）-（2k+1）=k，∴d是k的約數和2k+1的約數，
∴d是（2k+1）-k即k+1的約數
從而d是（k+1）-k即1的約數，這與d＞1矛盾
故不存在k，n是ka_n+2+a_n與ka_n+3+a_n+1有大于1的公約數．
分析：（I）根據a_n+1=λa_n+a_n-1，，數列b_n是公比為β的等比數列，
可求得a_n+1=（α+β）a_n-αβa_n-1，又，從而可求得α，β的值；
（II）可假設存在正整數k，n使得ka_n+2+a_n與ka_n+3+a_n+1有大于1的公約數d，d也是（ka_n+3+a_n+1）-（ka_n+2+a_n）即k（a_n+3-a_n+2）+k（a_n+1-a_n）的約數，從而推出d是ka_n+1+a_n-1的約數，也是ka_n+2+a_n與ka_n+1+a_n-1的公約數；依此類推，d是ka₄+a₂與ka₃+a₁的約數；最終導出d是（k+1）-k即1的約數，這與d＞1矛盾，從而結論．
點評：本題考查等比數列的性質，著重考查學生綜合分析與應用公示的能力，推理論證的能力，屬于難題．