Question

9、用數學歸納法證明“5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的第二步中，n=k+1時，為了使用歸納假設，應將5^k+1-2^k+1變形為

5（5^k-2^k）+3×2^k

．

Answer 1

分析：本題考察的數學歸納法的步驟，在使用數學歸納法證明“5ⁿ-2ⁿ能被3整除”的過程中，由n=k時成立，即“5^k-2^k能被3整除”時，為了使用已知結論對5^k+1-2^k+1進行論證，在分解的過程中一定要分析出含5^k-2^k的情況．

解答：解：假設n=k時命題成立．
即：5^k-2^k被3整除．
當n=k+1時，
5^k+1-2^k+1=5×5^k-2×2^k
=5（5^k-2^k）+5×2^k-2×2^k
=5（5^k-2^k）+3×2^k
故答案為：5（5^k-2^k）+3×2^k

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．