Question

用數(shù)學(xué)歸納法證明等式：

12

1×3

+

22

3×5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n2+n

4n+2

對于一切n∈N₊都成立．

Answer 1

分析：先證明n=1時成立，再假設(shè)n=k時成立，進(jìn)而，利用假設(shè)證明n=k+1時等式也成立．

解答：證明：（1）當(dāng)n=1時，左邊=

1

3

，右邊=

12+1

4+2

=

1

3

，等式成立．
（2）假設(shè)n=k時，等式成立，即

12

1×3

+

22

3×5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

=

k2+k

4k+2

，
那么n=k+1時，

12

1×3

+

22

3×5

+…+

k2

(2k-1)(2k+1)

+

(k+1)2

(2k+3)(2k+1)

=

k2+k

4k+2

+

(k+1)2

(2k+3)(2k+1)

=

k(k+1)(2k+3)+2(k+1)2

2(2k+3)(2k+1)

=

(2k+1)(k+1)(k+2)

2(2k+3)(2k+1)

=

(k+1)2+(k+1)

4(k+1)+2

，
即n=k+1時，等式成立．
由（1）（2）可知，等式：

12

1×3

+

22

3×5

+…+

n2

(2n-1)(2n+1)

=

n2+n

4n+2

對于一切n∈N₊都成立．

點評：數(shù)學(xué)歸納法常常用來證明一個與自然數(shù)集N相關(guān)的性質(zhì)，其步驟為：設(shè)P（n）是關(guān)于自然數(shù)n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數(shù)）成立的假設(shè)下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數(shù)n都成立．