Question

用數學歸納法證明等式cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2n

=

sinx

2nsin x 2n

對一切自然數n都成立．

Answer 1

分析：要證明等式cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2n

=

sinx

2nsin x 2n

對一切自然數n都成立，則我們要先證明n=1時成立，再假設n=k時成立，進而n=k+1時等式也成立．

解答：解：①當n=1時，cos

x

2

=

sinx

2 sin x 2

②假設當n=k時，等式成立，即cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2k

=

sinx

2ksin x 2k

則當n=k+1時，
cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2k

•cos

x

2k+1

=

sinx

2ksin x 2k

•cos

x

2k+1

=

sinx

2k•2•sin x 2k+1 cos x 2k+1

•cos

x

2k+1

=

sinx

2nsin x 2k+1

即此時等式也成立，
故等式cos

x

2

•cos

x

22

•cos

x

23

•…cos

x

2n

=

sinx

2nsin x 2n

對一切自然數n都成立．

點評：數學歸納法常常用來證明一個與自然數集N相關的性質，其步驟為：設P（n）是關于自然數n的命題，若1）（奠基） P（n）在n=1時成立；2）（歸納） 在P（k）（k為任意自然數）成立的假設下可以推出P（k+1）成立，則P（n）對一切自然數n都成立．