Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx+c（c＞0）的導函數的圖象如圖所示：
（Ⅰ）求函數f（x）的解析式；
（Ⅱ）令g(x)=

f(x)

x

，求y=g（x）在[1，2]上的最大值．

Answer 1

分析：（1）根據圖象可知f（x）的導函數是一次函數，根據坐標（0，1），（-

1

2

，0）確定出一次函數解析式，求出f（x）的導函數，兩者相等求出a、b即可；
（2）方法一：討論

c

的大小范圍，以[1，2]分成三個區間分別討論，利用導數求閉區間上函數最值的方法求出最值并比較求出最大值即可；方法二：討論x與

c

的大小利用導數求閉區間上函數最值的方法求出最值并比較求出最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）因為f′（x）=2ax+b，由圖可知，f′（x）=2x+1，
∴

2a=2 b=1

，得

a=1 b=1

，故所求函數解析式為f（x）=x²+x+c．
（Ⅱ）g(x)=

f(x)

x

=

x2+x+c

x

=x+

c

x

+1，
則g′(x)=1-

c

x2

=

x2-c

x2

=

(x+ c )(x- c )

x2

．
法一：①若

c

＜1，即0＜c＜1時，g′（x）＞0，
∴g（x）在[1，2]上是增函數，故g(x)max=g(2)=

1

2

c+3．
②若1≤

c

≤2，即1≤c≤4，當1≤x＜

c

時，g′（x）＜0；當

c

≤x≤2時，g′（x）＞0；
∵g（1）=c+2，g(2)=

1

2

c+3，
∴當1≤c≤2時，g（1）≤g（2），g(x)max=g(2)=

1

2

c+3；
當2＜c≤4時，g（1）＞g（2），g（x）_max=g（1）=c+2．
③若

c

＞2，即c＞4時，g′（x）＜0，
∴g（x）在[1，2]上是減函數，故g（x）_max=g（1）=c+2．
綜上所述，當0＜c≤2時，g(x)max=

1

2

c+3；當c＞2時，g（x）_max=c+2．
法二：∵當0≤x＜

c

時，g′（x）＜0；當x≥

c

時，g′（x）＞0；
∴當x=1或x=2時，g（x）取得最大值，其中g（1）=c+2，g(2)=

c

2

+3，
當0＜c≤2時，g(x)max=g(2)=

c

2

+3；
當c≥2時，g（x）_max=g（1）=c+2．

點評：此題主要考查學生利用導數求閉區間上函數的最值的能力，以及分類討論的數學思想．