【題目】已知
，
為橢圓E：
的左、右焦點，過點
的直線l與橢圓E有且只有一個交點T．
（1）求
面積的取值范圍．
（2）若有一束光線從點射出，射在直線l上的T點上，經過直線l反射后，試問反射光線是否恒過定點？若是，請求出該定點；若否，請說明理由．
【答案】（1）
；（2）是，定點
【解析】
（1）由題意設直線l的方程為：
，將代入
，得
，由
，解得
，由韋達定理得切點T的
，
的面積
，根據m的范圍即可求出；
（2）由對稱性和（1）得，不妨取切點
，則直線l：
，設
關于l對稱的點為
，經計算得
，
，直線
恒過定點，即可得答案.
（1）
，∴直線l的斜率存在且不為0，故設直線l的方程為l：，
將代入，得，
因為直線l與橢圓E有且只有一個交點T，所以
，解得，
此時求得
，由，得
，
，所以切點T的坐標為，又，，
所以的面積
，又，
，
．
（2）由對稱性和（1）得，不妨取切點，則直線l：，設關于l對稱的點為，
則
，
，
．
，
，
故直線的斜率為
，
所以直線的方程為
，即恒過定點，
所以光線
被直線l反射后恒過定點．
全能測控期末小狀元系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知梯形
中，
，
，
，四邊形
為矩形，
，平面
平面．
（Ⅰ）求證：
平面
；
（Ⅱ）求平面與平面
所成銳二面角的余弦值；
（Ⅲ）在線段
上是否存在點
，使得直線
與平面所成角的正弦值為
，若存在，求出線段的長；若不存在，請說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知
為坐標原點，橢圓
：
的左、右焦點分別為
，
.過焦點且垂直于
軸的直線與橢圓相交所得的弦長為3，直線
與橢圓相切.
（1）求橢圓的標準方程；
（2）是否存在直線
：
與橢圓相交于
兩點，使得
？若存在，求
的取值范圍；若不存在，請說明理由！
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知直線
過點
，傾斜角為
，在以坐標原點為極點，
軸的非負半軸為極軸的極坐標系中，曲線
的方程為
.
（1）寫出直線的參數方程和曲線的直角坐標方程；
（2）若直線與曲線相交于
兩點，設點
,求
的值.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】阿波羅尼斯（約公元前
年）證明過這樣一個命題:平面內到兩定點距離之比為常數
的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓.若平面內兩定點
、
間的距離為
，動點
滿足
，則
的最小值為（ ）
A. 
B. 
C. 
D. 
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】高中生在被問及“家，朋友聚集的地方，個人空間”三個場所中“感到最幸福的場所在哪里?”這個問題時，從洛陽的高中生中，隨機抽取了55人，從上海的高中生中隨機抽取了45人進行答題.洛陽高中生答題情況是：選擇家的占
、選擇朋友聚集的地方的占
、選擇個人空間的占.上海高中生答題情況是：選擇朋友聚集的地方的占
、選擇家的占
、選擇個人空間的占.
（1）請根據以上調查結果將下面
列聯表補充完整，并判斷能否有
的把握認為“戀家（在家里感到最幸福）”與城市有關：
在家里最幸福 | 在其它場所最幸福 | 合計 | |
洛陽高中生 | |||
上海高中生 | |||
合計 |
（2） 從被調查的不“戀家”的上海學生中，用分層抽樣的方法選出4人接受進一步調查，從被選出的4 人中隨機抽取2人到洛陽交流學習，求這2人中含有在“個人空間”感到幸福的學生的概率.
附：
，其中
d.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖所示，太極圖是由黑白兩個魚形紋組成的圖案，俗稱陰陽魚.太極圖展現了一種相互轉化，相對統一的和諧美.定義：能夠將圓
的周長和面積同時等分成兩個部分的函數稱為圓的一個“太極函數”.現有下列說法：①對于圓：
的所有非常數函數的太極函數中，一定不能為偶函數；②函數
是圓：
的一個太極函數；③存在圓，使得
是圓的一個太極函數；④直線
所對應的函數一定是圓：
（
）的太極函數；⑤若函數
（
）是圓：的太極函數，則
.其中正確的是__________.
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