Question

已知橢圓(a＞b＞0)的右焦點為F，經過點F作傾斜角為135°的直線l交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為M，且直線AB與OM的夾角為θ，且tanθ=3,求這個橢圓離心率.

Answer 1

思路點撥：本題先根據題意求出直線AB的斜率，再依據直線與橢圓的方程聯立消去其中一個未知數，找到相應的兩個交點A、B的橫(或縱)坐標之間的關系，表示出相應的中點M的坐標，從而將問題解決.

解：設點A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)，AB的中點為M(x₀,y₀)，則，,兩式相減可得k_AB=,∴a²y₀²=b²x₀².

又k_OM=，而=tanθ=3，故k_OM=或k_OM=2(∵a＞b，＜1,

    ∴k_OM=2舍去).

    ∴1-e²=，e=為所求.

［一通百通］ 有關橢圓與直線的交點問題，通常的方法就是聯立它們的方程組成方程組，再由此消去一個未知數，從而利用根與系數間的關系將問題解決.