Question

設上的兩點，已知向量，,若m·n=0且橢圓的離心率短軸長為2，為坐標原點.

  (Ⅰ)求橢圓的方程；

 （Ⅱ）若直線AB過橢圓的焦點F（0，c），（c為半焦距），求直線AB的斜率k的值；

（Ⅲ）試問：△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】   解：（Ⅰ）由題意知

橢圓的方程為                       

（Ⅱ）由題意，設AB的方程為

由已知得：                                    

     

(Ⅲ) （1）當直線AB斜率不存在時，即,由m·n=0

_得                         

又 在橢圓上，所以_，

_{所以S =}

所以三角形AOB的面積為定值                           

（2）.當直線AB斜率存在時：設AB的方程為y=kx+b

_,

                                

_由

                   

所以三角形的面積為定值.