Question

已知函數f(x)=|1-|(x＞0)，

(1)當0＜a＜b,且f(a)=f(b)時，求證：ab＞1;

(2)是否存在實數a、b(a＜b),使得函數y=f(x)的定義域、值域都是［a,b］？若存在，則求出a、b的值；若不存在，請說明理由.

(3)若存在實數a、b(a＜b)，使得函數y=f(x)的定義域為［a,b］時，值域為［Ma,Mb］(M≠0),求M的取值范圍.

Answer 1

(1)證明：∵x＞0,∴f(x)=                                                                    

∴f(x)在(0,1)上為減函數，在(1,+∞)上是增函數.??

由0＜a＜b,且f(a)=f(b),可得0＜a＜1＜b和-1=1-,即+=2.?

∴2AB=a+b＞2.                                                                                ?

故＞1,即AB＞1.                                                                               ?

(2)解：不存在滿足條件的實數a、b.?

若存在滿足條件的實數a、b，使得函數y=f(x)=|1-|的定義域、值域都是［a,b］，則a＞0，f(x)=

①當a、b∈(0,1)時，f(x)= -1在(0,1)上為減函數，故即?

解得a=b.故此時不存在適合條件的實數a,b.                                              ?

②當a、b∈［1,+∞)時，f(x)=1-在(1,+∞)上是增函數，故即?

此時a、b是方程x²-x+1=0的根，此方程無實根.??

故此時不存在適合條件的實數a、b.                                                         

當a∈(0,1),b∈［1,+∞)時，由于1∈［a,b］，而f(1)=0［a,b］,故此時不存在適合條件的實數a、b.?

綜上，可知不存在適合條件的實數a、b.                                                  

(3)解：若存在實數a、b(a＜b),使得函數y=f(x)的定義域為［a,b］時值域為［ma,mb］，則a＞0,m＞0.??

①當a、b∈(0,1)時，由于f(x)在(0,1)上是減函數，值域為［ma,mb］，即

此時a,b異號，不合題意，所以a,b不存在.?

②當a∈(0,1)或b∈(1,+∞)時，由(2)知0在值域內，值域不可能是［ma,mb］，所以a、b不存在.故只有a、b∈［1,+∞).?

∵f(x)=|1-|在(1,+∞)上是增函數,∴即?

a、b是方程mx²-x+1=0的兩個根，?

即關于x的方程mx²-x+1=0有兩個大于1的實根.                                              ?

設這兩個根為x₁、x₂,則x₁+x₂=,x_1·x₂=.??

∴即?

解之，得0＜m＜.?

故m的取值范圍是0＜m＜.