Question

設橢圓=1的焦點為F₁、F₂,P是橢圓上任意一點,一條斜率為的直線交橢圓于A、B兩點,如果當a變化時,總可同時滿足:

①∠F₁PF₂的最大值為;

②直線l:ax+y+1=0平分線段AB.

求a的取值范圍.

Answer 1

解:由橢圓的定義及余弦定理得|F₁F₂|²=|PF₁|²+|PF₂|²-2|PF₁||PF₂|cos∠F₁PF₂=(|PF₁|+|PF₂|)²-

2|PF₁|·|PF₂|(1+cos∠F₁PF₂).

∴2|PF₁||PF₂|(1+cos∠F₁PF₂)=4a²-4c²=4b².

∵|PF₁||PF₂|≤()²,

∴2()²(1+cos∠F₁PF₂)≥4b².

∴cos∠F₁PF₂≥,當且僅當|PF₁|=|PF₂|時取等號.由于∠F₁PF₂的最大值為,

∴=.

∴3a²=4b²,從而橢圓方程為3x²+4y²=3a².

設AB的方程為y=x+m,代入橢圓方程得4x²+4mx+4m²-3a²=0.

由Δ=16m²-4×4(4m²-3a²)＞0a²＞m².而AB的中點M(-,)在l上,

∴-+1=0,解得m=.

代入a²＞m²,解得a＞.

解法二:由數形結合,點P為橢圓短軸端點時,∠F₁PF₂最大.

由∠F₁PF₂=,=cos=,

∴b²=a².

(以下同上).