Question

已知橢圓C₁：

y2

a2

+

x2

b2

=1（a＞b＞0）的右頂點為P（1，0），過C₁的焦點且垂直長軸的弦長為1．
（Ⅰ）求橢圓C₁的方程；
（Ⅱ）設拋物線C₂：y=x²+h（h∈R）的焦點為F，過F點的直線l交拋物線與A、B兩點，過A、B兩點分別作拋物線C₂的切線交于Q點，且Q點在橢圓C₁上，求△ABQ面積的最值，并求出取得最值時的拋物線C₂的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得到b的值，結合通徑長為1求得a的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）設出A，B的坐標及切線AQ的方程y-(x12+h)=k(x-x1)，和拋物線方程聯立后由判別式等于0得到切線斜率與A的橫坐標的關系，進一步得到AQ的方程，同理得到BQ的方程，聯立兩切線方程求出Q點的坐標，寫出三角形ABQ的面積表達式，結合Q點在橢圓上把面積用含有k的代數式表示，求出使面積取得最值時的k與h值，則△ABQ面積取得最值時的拋物線C₂的方程可求．

解答：解：（I）由題意得

b=1 2• b2 a =1

，解得

a=2 b=1

，
∴所求的橢圓方程為

y2

4

+x2=1；
（II）令A(x1，x12+h)，B(x2，x22+h)，
設切線AQ方程為y-(x12+h)=k(x-x1)，代入y=x²+h，得：x2-kx+kx1-x12=0．
令△=0，可得k=2x₁．
∴拋物線C₂在點A處的切線斜率為k=2x₁．
∴切線AQ方程為：y-(x12+h)=2x1(x-x1)，即y=2x1x-x12+h  ①
同理可得BQ方程為：y=2x2x-x22+h  ②
聯立①②解得Q點為(

x1+x2

2

，x1x2+h)．
焦點F坐標為（0，h+

1

4

），令l方程為：y=kx+h+

1

4

，代入C2：y=x2+h，
得：x2-kx-

1

4

=0，由韋達定理有：x1+x2=k，x1x2=-

1

4

．
∴Q點為(

k

2

，h-

1

4

)．
過Q作y軸平行線交AB于M點，則S△ABQ=

1

2

|QM||x1-x2|．
M點為(

k

2

，

k2

2

+h+

1

4

)，
|QM|=

k2+1

2

，|x1-x2|=

(x1+x2)2-4x1x2

=

k2+1

．
∴S△ABQ=

1

2

|QM||x1-x2|=

1

4

(

k2+1

)3．
而Q點在橢圓上，∴

(h- 1 4 )2

4

+(

k

2

)2=1，∴k2=4-(h-

1

4

)2∈[0，4]．
∴(S△ABQ)min=

1

4

，此時k=0，h=

9

4

或-

7

4

，
則拋物線方程為：y=x2+

9

4

或y=x2-

7

4

．
(S△ABQ)max=

5 5

4

，此時k2=4，h=

1

4

，
則拋物線方程為：y=x2+

1

4

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程的求法，考查了直線與圓錐曲線的位置關系，訓練了設而不求的解題思想方法和數學轉化思想方法，解答的關鍵是如何把三角形ABQ的面積轉化為僅含直線AQ的斜率k的函數關系，考查了學生靈活處理問題的能力和整體計算能力，是高考試卷中的壓軸題．