Question

（本小題滿分12分）

已知數列中，，，且．

（1）設，求是的通項公式；

（2）求數列的通項公式；

（3）若是與的等差中項，求的值，并證明：對任意的，是與的等差中項．

 

Answer 1

【答案】

（1）

（2）

（3）證明三項構成等差中項的性質，只要利用等差中項的性質分析可得。

【解析】

試題分析：（1）證明：由題，得，

,．又，，   

所以是首項為1，公比為的等比數列．                              

                                                   

（2）解：由（Ⅰ），，，……,．

將以上各式相加，得．                     

所以當時，                             

上式對顯然成立．                                                   

（3）解：由（Ⅱ），當時，顯然不是與的等差中項，故． 

由可得，由得  ，     ①       

．于是．                                 

另一方面，

，．

由①可得．

所以對任意的，是與的等差中項． 

考點：數列的通項公式

點評：解決的關鍵是對于數列的公式的熟練運用，等比數列和累加法思想的運用，屬于中檔題。易錯點是對于公比的討論容易忽略。