Question

已知函數 f(x)=

4

6+x-x2

，g(x)=|x-

(a+1)2

2

|，若不存在實數x使得f(x)＞1和g(x)≤

(a-1)2

2

同時成立，試求 a的取值范圍．

Answer 1

分析：由f（x）＞1得

4

6+x-x2

＞1，得到f（x）＞1的解集為A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}．由g(x)≤

(a-1)2

2

得g(x)≤

(a-1)2

2

的解集為B={x|2a≤x≤a²+1}．依題意有A∩B=φ，因此有：

2a≥-1 a2+1≤2

或2a≥3，由此能求了a 的取值范圍．

解答：解：由f（x）＞1得

4

6+x-x2

＞1
化簡整理得

(x-2)(x+1)

(x-3)(x+2)

＜0
解得-2＜x＜-1或2＜x＜3
即 f（x）＞1的解集為A={x|-2＜x＜-1或2＜x＜3}
由g(x)≤

(a-1)2

2

得 |x-

(a+1)2

2

|≤

(a-1)2

2

即-

(a-1)2

2

≤x-

(a+1)2

2

≤

(a-1)2

2

(a+1)2-(a-1)2

2

≤x≤

(a+1)2+(a-1)2

2

解得  2a≤x≤a²+1
即g(x)≤

(a-1)2

2

的解集為B={x|2a≤x≤a²+1}
依題意有A∩B=φ，因此有：

2a≥-1 a2+1≤2

或2a≥3，解得：-

1

2

≤a≤1或a≥

3

2

故a 的取值范圍是{a|-

1

2

≤a≤1或a≥

3

2

}

點評：本題考查不等式有性質和應用，解題時要認真審題，注意集合的運算的靈活運用．