Question

寫出用“二分法”求方程x²-2=0 (x＞0)的近似解的算法.

Answer 1

解：第一步，令f(x)=x²-2,給定精確度d.

第二步，確定區間［a,b］，滿足f(a)·f(b)＜0.

第三步，取區間中點m=.

第四步，若f(a)·f(m)＜0，則含零點的區間為［a,m］；否則，含零點的區間為［m,b］.將新得到的含零點的區間仍記為［a,b］.

第五步，判斷［a,b］的長度是否小于d或f(m）是否等于0.若是，則m是方程的近似解；否則，返回第三步.

當d=0.005時，按照以上算法，可以得到下表.

a	b	|a-b|
1	2	1
1	1.5	0.5
1.25	1.5	0.25
1.375	1.5	0.125
1.375	1.437 5	0.062 5
1.406 25	1.437 5	0.031 25
1.406 25	1.421 875	0.015 625
1.414 062 5	1.421 875	0.007 812 5
1.414 062 5	1.417 968 75	0.003 906 25

    于是，開區間（1.414 062 5,1.417 968 75）中的實數都是當精確度為0.005時的原方程的近似解.實際上，上述步驟也是求的近似值的一個算法.

解析:

分析：令f(x)=x²-2,則方程x²-2=0 (x＞0)的解就是函數f(x)的零點.

    “二分法”的基本思想是：把函數f(x)的零點所在的區間［a,b］(滿足f(a)·f(b)＜0）“一分為二”，得到［a,m］和［m,b］.根據“f(a)·f(m)＜0”是否成立，取出零點所在的區間［a,m］或［m,b］，仍記為［a,b］.對所得的區間［a,b］重復上述步驟，直到包含零點的區間［a,b］“足夠小”，則［a,b］內的數可以作為方程的近似解.