Question

一直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，且交拋物線于A，B兩點，C為拋物線準線的一點．
（1）求證：∠ACB不可能是鈍角；
（2）是否存在這樣的點C，使得△ABC為正三角形？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設，直線AB方程為，由得：y²-2pty-p²=0，由此能夠證明∠ACB不可能是鈍角
（2）假設存在點C，使得△ABC為正三角形．由（1）得：線段AB的中點為，由此能夠推導出存在點，使得△ABC為正三角形．
解答：解：設，
直線AB方程為
由，得：y²-2pty-p²=0，
則
∴．
，
∴
∴不可能為鈍角，
故∠ACB不可能是鈍角
（2）假設存在點C，使得△ABC為正三角形
由（1）得：線段AB的中點為
①若直線AB的斜率不存在，這時t=0，，
點C的坐標只可能是，由，
得：，矛盾，于是直線AB的斜率必存在．
②由CM⊥AB，得：k_CM•k_AB=-1，
即，
∴m=pt³+2pt，
∴，|AB|=2p（t²+1），
由，得：，
∴
故存在點，使得△ABC為正三角形．
點評：本題考查角不能為鈍角的證明，判斷是否存在滿足條件的點使得三角形為正三角形．具體涉及到拋物線的簡單性質，直線和拋物線的位置關系，是難題．