Question

一直線過拋物線y²=2px（p＞0）的焦點F，且交拋物線于A，B兩點，C為拋物線準線的一點．
（1）求證：∠ACB不可能是鈍角；
（2）是否存在這樣的點C，使得△ABC為正三角形？若存在，請求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(-

p

2

，m)，直線AB方程為x=ty+

p

2

，由

x=ty+ p 2 y2=2px

得：y²-2pty-p²=0，由此能夠證明∠ACB不可能是鈍角
（2）假設存在點C，使得△ABC為正三角形．由（1）得：線段AB的中點為M(pt2+

p

2

，pt)，由此能夠推導出存在點C(-

p

2

，±4

2

p)，使得△ABC為正三角形．

解答：解：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(-

p

2

，m)，
直線AB方程為x=ty+

p

2

由

x=ty+ p 2 y2=2px

，得：y²-2pty-p²=0，
則y1+y2=2pt，y1y2=-p2
∴x1+x2=2pt2+p，x1x2=

p2

4

．

CA

=(x1+

p

2

，y1-m)，

CB

=(x2+

p

2

，y2-m)
∴

CA

•

CB

=(pt-m)2≥0
∴＜

CA

，

CB

＞不可能為鈍角，
故∠ACB不可能是鈍角
（2）假設存在點C，使得△ABC為正三角形
由（1）得：線段AB的中點為M(pt2+

p

2

，pt)
①若直線AB的斜率不存在，這時t=0，A(

p

2

，p)，B(

p

2

，-p)，
點C的坐標只可能是(

p

2

，-p)，由|CM|=

3

2

|AB|，
得：p=

3

2

•2p，矛盾，于是直線AB的斜率必存在．
②由CM⊥AB，得：k_CM•k_AB=-1，
即

pt-m

pt2+ p 2 + p 2

•

1

t

=-1，
∴m=pt³+2pt，
∴C(-

p

2

，pt3+2pt)|CM|=p(t2+1)

t2+1

，|AB|=2p（t²+1），
由|CM|=

3

2

|AB|，得：t=±

2

，
∴C(-

p

2

，±4

2

p)
故存在點C(-

p

2

，±4

2

p)，使得△ABC為正三角形．

點評：本題考查角不能為鈍角的證明，判斷是否存在滿足條件的點使得三角形為正三角形．具體涉及到拋物線的簡單性質，直線和拋物線的位置關系，是難題．