Question

函數y=x²（x＞0）的圖象在點（a_k，a_k²）處的切線與x軸交點的橫坐標為a_k+1，其中k∈N⁺，若a₁=16，則a₁+a₃+a₅=

21

．

Answer 1

分析：由y=x²（x＞0），求出y=x²（x＞0）在點（a_k，a_k²）處的切線方程是2a_kx-y-a_k²=0，再由切線與x軸交點的橫坐標為a_k+1，知a_k+1=

1

2

ak，所以{a_n}是首項為a₁=1，公比q=

1

2

的等比數列，
由此能求出a₁+a₃+a₅．

解答：解：∵y=x²（x＞0），
∴y′=2x，
∴y=x²（x＞0）在點（a_k，a_k²）處的切線方程是：
y-a_k²=2a_k（x-a_k），
整理，得2a_kx-y-a_k²=0，
∵切線與x軸交點的橫坐標為a_k+1，
∴a_k+1=

1

2

ak，
∴{a_n}是首項為a₁=1，公比q=

1

2

的等比數列，
∴a₁+a₃+a₅=16+16×

1

4

+16×

1

16

=21．
故答案為：21．

點評：本題考查數列與函數的綜合，綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，注意導數、切線方程和等比數列性質的靈活運用．