Question

已知數列{a_n} 中，a₁=1，a₂=，且（n=2，3，4，…）
（1）求a₃、a₄的值；
（2）設b_n=（n∈N^*），試用b_n表示b_n+1并求{b_n} 的通項公式；
（3）設c_n=（n∈N^*），求數列{c_n}的前n項和S_n．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數列{a_n} 中，a₁=1，a₂=，且（n=2，3，4，…），分別令n=2和n=3，能求出a₃、a₄的值．
（2）當n≥2時，，故當n≥2時，，所以，由累乘法能用b_n表示b_n+1并求出{b_n} 的通項公式．
（3）由=tan（3n+3）-tan3n，能求出數列{c_n}的前n項和S_n．
解答：解：（1）∵數列{a_n} 中，a₁=1，a₂=，
且（n=2，3，4，…），
∴==，
==，
∴，．…（3分）
（2）當n≥2時，，
∴當n≥2時，，
故，
累乘得b_n=nb₁，
∵b₁=3，∴b_n=3n，n∈N^*．…（8分）
（3）∵
=，
∴S_n=c₁+c₂+…+c_n
=（tan6-tan3）+（tan9-tan6）+…+（tan（3n+3）-tan3n）
=tan（3n+3）-tan3．…（13分）
點評：本題考查數列的通項公式和前n項和的求法，解題時要認真審題，仔細解答，注意累積法和裂項求和法的合理運用．