Question

例4．已知集合A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}，B={y|y=

1

2

x2-x+

5

2

，0≤x≤3}，若A∩B=空集，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：先解出集合中的一元二次不等式，然后根據A∩B=空集，說明集合A，B沒有共同的元素，從而求出實數a的范圍．

解答：解：∵B={y|y=

1

2

x2-x+

5

2

，0≤x≤3}，
∴y=

1

2

x²-x+

5

2

=

1

2

（x-1）²+2，
∵0≤x≤3，
∴2≤y≤4，即B=[2，4]
∵A={y|y²-（a²+a+1）y+a（a²+1）＞0}═{y|（y-a）[y-（a²+1）]＞0}，又a²+1＞a
∴A={y＞a²+1或y＜a}，
∵A∩B=∅，
∴a²+1≥4或a≤2，
∴

3

≤a≤2或a≤-

3

或．

點評：此題主要考查一元二次不等式的解法及集合的交集及補集運算，一元二次不等式的解法及集合間的交、并、補運算布高考中的�？純热�，要認真掌握，并確保得分，此題是其逆用已知兩集合的關系，讓求其中元素的取值范圍，是一道好題．