Question

已知函數(shù)f(x)=

a

•

b

，其中

a

=(2cosx，

3

sinx)，

b

=(cosx，-2cosx)
（1）若x∈[0，π]，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間和最小值；
（2）在△ABC中，a、b、c分別是角A．B．C的對(duì)邊，旦f（A）=-1，求

b-2c

acos(60°+C)

的值；
（3）在第二問(wèn)的條件下，若a=

3

，求△ABC面積的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用數(shù)量積運(yùn)算法則和兩角和差的正弦公式及其正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（2）利用兩角和差的正弦公式、正弦定理、正弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（3）利用余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式即可得出．

解答：解：（1）f（x）=

a

•

b

=2cos2x-2

3

sinxcosx=1+cos2x-

3

sin2x
=-2(

3

2

sin2x-

1

2

cos2x)+1
=-2sin(2x-

π

6

)+1，
由

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

3π

2

+2kπ解得

π

3

+kπ≤x≤

5π

6

+kπ(k∈Z)，
又x∈[0，π]，因此函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[

π

3

，

5π

6

]．
其最小值為f(

π

3

)=-2sin(2×

π

3

-

π

6

)+1=-2+1=-1．
（2）由f（A）=-1，可得f(A)=-2sin(2A-

π

6

)+1=-1，化為sin(2A-

π

6

)=1，
∵A∈（0，π），∴(2A-

π

6

)∈(-

π

6

，

11π

6

)，
∴2A-

π

6

=

π

2

，解得A=

π

3

．即A=60°．
由正弦定理可得

b-2c

asin(60°+C)

=

sinB-2sinC

sin60°cos(60°+C)

=

sin(120°-C)-2sinC

3 2 ( 1 2 cosC- 3 2 sinC)

=

3 2 cosC- 3 2 sinC

1 2 ( 3 2 cosC- 3 2 sinC)

=2．
（3）由（2）可知：A=60°．
∴3=a²=b²+c²-2bccos60°≥2bc-bc=bc，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=

3

時(shí)取等號(hào)．
∴△ABC面積=

1

2

bcsinA≤

1

2

×3×sin60°=

3 3

4

，即最大值為

3 3

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題綜合考查了數(shù)量積運(yùn)算法則和兩角和差的正弦公式及其正弦函數(shù)的單調(diào)性、正弦定理、余弦定理、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了知識(shí)的運(yùn)用能力，屬于難題．