Question

在平面直角坐標(biāo)系中，橫、縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)叫做格點(diǎn)．若函數(shù)y=f（x）的圖象恰好經(jīng)過k個(gè)格點(diǎn)，則稱函數(shù)y=f（x）為k階格點(diǎn)函數(shù)．已知下列函數(shù)：①f(x)=

2

(x2-1)；②f（x）=e^x+1；③f(x)=

1

2

log

2

x；④f(x)=2cos(x-

π

3

)．則其中為一階格點(diǎn)函數(shù)的序號(hào)為

②④

．（寫出所有正確命題的序號(hào)）

Answer 1

分析：只要逐個(gè)判斷函數(shù)是否過格點(diǎn)，過幾個(gè)格點(diǎn)即可，①用到二次函數(shù)圖象，要取x取整數(shù)，y也為整數(shù)．②可借助y=e^x的圖象來判斷，因?yàn)榈讛?shù)時(shí)e，所以只有x=0時(shí)y才可能為整數(shù)，③用到對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，要取x取整數(shù)，y也為整數(shù)．④用到余弦函數(shù)圖象，因?yàn)?span id="p9vv5xb5" class="MathJye">f(x)=2cos(x-

π

3

)的周期為2π，只需判斷當(dāng)x=0，1，2，3，4，5時(shí)，y有是否為整數(shù)即可．

解答：解：①f(x)=

2

(x2-1)圖象經(jīng)過（1，0），（-1，0），…等多個(gè)格點(diǎn)，∴f(x)=

2

(x2-1)不是一階格點(diǎn)函數(shù)．
②∵f（x）=e^x+1圖象是函數(shù)y=e^x圖象向上平移1個(gè)單位長度，只過（0，2）點(diǎn)一個(gè)格點(diǎn)，∴f（x）=e^x+1是一階格點(diǎn)函數(shù)．
③f(x)=

1

2

log

2

x圖象經(jīng)過（1，0），（2，1），…等多個(gè)格點(diǎn)，∴f(x)=

1

2

log

2

x不是一階格點(diǎn)函數(shù)．
④∵f(x)=2cos(x-

π

3

)的值域?yàn)閇-2，2]，當(dāng)x在R內(nèi)取值時(shí)，經(jīng)過的格點(diǎn)只有（0，1），∴f(x)=2cos(x-

π

3

)是一階格點(diǎn)函數(shù)．
故答案為：②④．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了給出新概念，在新概念下進(jìn)行判斷，考察了學(xué)生的理解力，以及把新知識(shí)轉(zhuǎn)化為所學(xué)知識(shí)的轉(zhuǎn)化能力，其中分析出函數(shù)的格點(diǎn)個(gè)數(shù)是解答本題的關(guān)鍵．