Question

（2013•四川）在平面直角坐標系內，到點A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，-1）的距離之和最小的點的坐標是

（2，4）

．

Answer 1

分析：如圖，設平面直角坐標系中任一點P，利用三角形中兩邊之和大于第三邊得PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，從而得到四邊形ABCD對角線的交點Q即為所求距離之和最小的點．再利用兩點式方程求解對角線所在的直線方程，聯立方程組求交點坐標即可．

解答：解：如圖，設平面直角坐標系中任一點P，
P到點A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，-1）的距離之和為：PA+PB+PC+PD=PB+PD+PA+PC≥BD+AC=QA+QB+QC+QD，
故四邊形ABCD對角線的交點Q即為所求距離之和最小的點．
∵A（1，2），B（1，5），C（3，6），D（7，-1），
∴AC，BD的方程分別為：

y-2

6-2

=

x-1

3-1

，

y-5

-1-5

=

x-1

7-1

，
即2x-y=0，x+y-6=0．
解方程組

2x-y=0 x+y-6=0

得Q（2，4）．
故答案為：（2，4）．

點評：本小題主要考查直線方程的應用、三角形的性質等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．