Question

【題目】已知橢圓，動圓：（圓心為橢圓上異于左右頂點的任意一點），過原點作兩條射線與圓相切，分別交橢圓于，兩點，且切線長最小值時,.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）判斷的面積是否為定值，若是，則求出該值；不是，請說明理由。

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)見解析

【解析】

（Ⅰ）由，所以當OP最小時切線長OT最小. 又切線長取最小值時,.，所以，，此時，再建立OP關于的函數，結合二次函數的最值情況可得.

（Ⅱ）先計算切線OM（或ON）斜率不存在時的面積，再計算OM、ON斜率都存在時設MN方程，直線方程與橢圓方程聯立方程組，利用韋達定理求MN，求O到直線MN的距離，把的面積用k,m表示，再結合OM,ON與圓相切找出k,m的關系，化簡可得.

（Ⅰ）

,又 在橢圓上， 得,

橢圓C的方程為：

（Ⅱ）解：（1）當切線OM或ON斜率不存在即圓P與y軸相切時，易得，代入橢圓方程得：說明圓P同時也與x軸相切，此時M、N分別為長、短軸一個端點，則的面積為

（2）當切線OM、ON斜率都存在時，設切線方程為：

由得：

整理得：

由韋達定理得：

設，由于點P不與點A、B重合時，直線的斜率存在，

不妨設直線的方程為：

將與橢圓方程聯立可得：

代入有：整理得：

又

而原點O到直線MN的距離為

所以的面積為定值.