Question

已知及是實(shí)數(shù)集，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，函數(shù)f（x）=

1+In(x+1)

x

的定義域?yàn)閧x|x＞0，x∈R}
（I）解關(guān)于x的不等式f（x²+1）＞

2

e-1

：
（II）若常數(shù)k是正整數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞

k

x+1

恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析：（I）看出要解的不等式右邊可以寫成f（e-1），問(wèn)題轉(zhuǎn)化為抽象函數(shù)的不等式的問(wèn)題，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性寫出解題的不等式，得到解集．
（II）利用特值看出要求的最大值是3，后面要證明當(dāng)取3時(shí)，式子恒成立，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，看出函數(shù)在當(dāng)x=e-1時(shí)，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e，得到結(jié)論．

解答：解：（I）∵f（e-1）=

2

e-1

∴不等式f（x²+1）＞

2

e-1

可以化為f（x²+1）＞f（e-1）
∴f′(x)=

1

x2

[

x

x+1

-1-ln(x+1)]=-

1

x2

[

1

x+1

+ln(x+1)]
∴當(dāng)x＞0時(shí)，f^′（x）＜0，
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上是減函數(shù)，
∵f（x²+1）＞f（e-1），
∴x²+1＜e-1，
∴-

e-2

＜x＜

e-2

，
∴不等式的解集是{x|-

e-2

＜x＜

e-2

}
（II）∵當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞

k

x+1

恒成立，
令x=1，得k＜2（1+ln2）
∵k是整數(shù)，
∴k=3．
下面證明當(dāng)k=3，x＞0時(shí)，f（x）＞

k

x+1

恒成立，
即當(dāng)x＞0時(shí)，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x
則g^′（x）=ln（x+1）-1
當(dāng)x＞e-1時(shí)，g^′（x）＞0，
當(dāng)0＜x＜e-1時(shí)，g^′（x）＜0
∴當(dāng)x=e-1時(shí)，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0
∴當(dāng)x＞0時(shí)，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，
∴正整數(shù)k的最大值是3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的綜合問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)比較全面，是可以作為壓軸題目的一個(gè)解答題，特別的題目應(yīng)用到函數(shù)的恒成立問(wèn)題，這是每一年必考的知識(shí)點(diǎn)．