Question

已知及是實數集，e是自然對數的底數，函數f（x）=的定義域為{x|x＞0，x∈R}
（I）解關于x的不等式f（x²+1）＞：
（II）若常數k是正整數，當x＞0時，f（x）＞恒成立，求k的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）看出要解的不等式右邊可以寫成f（e-1），問題轉化為抽象函數的不等式的問題，對函數求導判斷函數的單調性，根據函數的單調性寫出解題的不等式，得到解集．
（II）利用特值看出要求的最大值是3，后面要證明當取3時，式子恒成立，利用導數求出函數的單調區間，看出函數在當x=e-1時，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e，得到結論．
解答：解：（I）∵f（e-1）=
∴不等式f（x²+1）可以化為f（x²+1）＞f（e-1）
∴=
∴當x＞0時，f^′（x）＜0，
∴函數f（x）在區間（0，+∞）上是減函數，
∵f（x²+1）＞f（e-1），
∴x²+1＜e-1，
∴，
∴不等式的解集是{x|}
（II）∵當x＞0時，f（x）＞恒成立，
令x=1，得k＜2（1+ln2）
∵k是整數，
∴k=3．
下面證明當k=3，x＞0時，f（x）恒成立，
即當x＞0時，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，
令g（x）=（x+1）ln（x+1）+1-2x
則g^′（x）=ln（x+1）-1
當x＞e-1時，g^′（x）＞0，
當0＜x＜e-1時，g^′（x）＜0
∴當x=e-1時，g（x）取得最小值g（e-1）=3-e＞0
∴當x＞0時，（x+1）ln（x+1）+1-2x＞0恒成立，
∴正整數k的最大值是3．
點評：本題考查函數的綜合問題，涉及到的知識點比較全面，是可以作為壓軸題目的一個解答題，特別的題目應用到函數的恒成立問題，這是每一年必考的知識點．