Question

已知定義在R上的函數y=f（x）是偶函數，且x≥0時，f（x）=ln（x²-2x+2），
（1）當x＜0時，求f（x）解析式；
（2）寫出f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）x＜0時，-x＞0，代入已知x≥0時，f（x）=ln（x²-2x+2），可得f（-x）=ln（x²+2x+2），根據偶函數的性質可求得f（x）=ln（x²+2x+2）
（2）根據復合函數的單調性及二次函數的單調性分別求解兩段函數的單調增區間即可

解答：解：（1）x＜0時，-x＞0
∵x≥0時f（x）=ln（x²-2x+2）
∴f（-x）=ln（x²+2x+2）（2分）
∵y=f（x）是偶函數，∴f（-x）=f（x）（4分）
x＜0時，f（x）=ln（x²+2x+2）（6分）
∴f(x)=

ln(x2- 2x+2)，x≥0 ln(x2+2x+2)，x＜0

（8分）
（2）由（1）知x＜0時，f（x）=ln（x²+2x+2），根據復合函數的單調性可得函數的單調增區間（-1，0）
x≥0時f（x）=ln（x²-2x+2），根據復合函數的單調性可得函數的單調增區間（1，+∞）
所以函數的單調增區間為：（-1，0），（1，+∞）

點評：本題主要考查了利用偶函數的對稱性求解函數的解析式，復合函數的單調區間的求解，（2）中對每段函數求解單調區間時要注意函數的定義域．