Question

（2011•濟南二模）已知函數f（x）=plnx+（p-1）x²+1．
（1）討論函數f（x）的單調性；
（2）當P=1時，f（x）≤kx恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）證明：1n（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

（n∈N⁺）．

Answer 1

分析：（1）利用導數來討論函數的單調性即可，具體的步驟是：（1）確定 f（x）的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數 的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定 的單調區間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．（2）當P=1時，f（x）≤kx恒成立，分離參數等價于k≥

1+lnx

x

，利用導數求函數h（x）=

1+lnx

x

的最大值即可求得實數k的取值范圍；（3）由（2）知，當k=1時，有f（x）≤x，當x＞1時，f（x）＜x，即lnx＜x-1，令x=

n+1

n

，則得到ln

n+1

n

＜

1

n

，利用導數的運算法則進行化簡，然后再相加，即可證得結論．

解答：解：（1）f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=

p

x

+2(p-1)x=

2(p-1)x2+p

x

，
當p＞1時，f′（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞增；
當p≤0時，f′（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）上單調遞減；
當0＜p＜1時，令f′（x）=0，解得x=

- p 2(p-1)

．
則當x∈(0，

- p 2(p-1)

)時，f′（x）＞0；x∈(

- p 2(p-1)

，+∞)時，f′（x）＜0，
故f（x）在（0，

- p 2(p-1)

）上單調遞增，在(

- p 2(p-1)

，+∞)上單調遞減；
（2）∵x＞0，
∴當p=1時，f（x）≤kx恒成立?1+lnx≤kx?k≥

1+lnx

x

，
令h（x）=

1+lnx

x

，則k≥h（x）_max，
∵h′（x）=

-lnx

x2

=0，得x=1，
且當x∈（0，1），h′（x）＞0；當x∈（1，+∞），h′（x）＜0；
所以h（x）在0，1）上遞增，在（1，+∞）上遞減，
所以h（x）_max=h（1）=1，
故k≥1．
（3）由（2）知，當k=1時，有f（x）≤x，當x＞1時，f（x）＜x，即lnx＜x-1，
∴令x=

n+1

n

，則ln

n+1

n

＜

1

n

，即ln(n+1)-lnn＜

1

n

，
∴ln2-ln1＜1，ln3-ln2＜

1

2

，…，ln(n+1)-lnn＜

1

n

相加得1n（n+1）＜1+

1

2

+

1

3

+…+

1

n

．

點評：此題是個難題．本題主要考查導數的概念、利用導數研究函數的單調性、利用函數的單調性證明不等式和利用導數研究函數性質的能力，考查分類討論思想、數形結合思想和等價變換思想．