Question

已知函數f（t）滿足對任意實數x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+xy+1，且f（-2）=-2．
（1）求f（1）的值；
（2）證明：對一切大于1的正整數t，恒有f（t）＞t；
（3）試求滿足f（t）=t的整數t的個數，并說明理由．

Answer 1

分析：（1）對抽象函數所滿足的關系式，進行賦值，分別令x=y=0，x=y=-1，x=1，y=-1即可求f（1）；
（2）對抽象函數所滿足的關系式，令x=n，y=1，代入化簡即可證明；
（3）對抽象函數所滿足的關系式，令y=-x，討論x為整數的情況，轉化為二次函數與方程問題解決即可．

解答：解：（1）x=y=0得f（0）=-1
x=y=-1得f（-2）=2f（-1）+2
而f（-2）=-2，∴f（-1）=-2
x=1，y=-1得f（0）=f（1）+f（-1）
∴f（1）=1．

（2）x=n，y=1得f（n+1）=f（n）+f（1）+n+1=f（n）+n+2
∴f（n+1）-f（n）=n+2，
∴當n∈N₊時，f（n）=f（1）+[3+4++（n+1）]=

1

2

(n2+3n-2)則f（n）-n=

1

2

(n2+n-2)
而當n∈N₊，且n＞1時，n²+n-2＞0，
∴f（n）＞n，則對一切大于1的正整數t，恒有f（t）＞t．

（3）∵y=-x時f（x-x）=f（x）+f（-x）+1-x²
∴f（x）=x²-2-f（-x）
∵當x∈N₊時由（2）知f(x)=

1

2

(x2+3x-2)
當x=0時，f（0）=-1=

1

2

[02+3×0-2]
當x為負整數時，-x∈N₊，則f(-x)=

1

2

(x2-3x-2)，
∴f(x)=x2-2-

1

2

(x2-3x-2)=

1

2

(x2+3x-2)
故對一切x∈Z時，有f(x)=

1

2

(x2+3x-2)
∴當t∈Z時，由f（t）=t得t²+t-2=0，即t=1或t=-2
∴滿足f（t）=t的整數t有兩個．

點評：本題考查抽象函數的求值、計算與證明問題，抽象函數是相對于函數有具體解析式而言的，賦值法是解決抽象函數的一把“利劍”，本題屬于中檔題．