Question

已知實系數一元二次方程x²+（1+a）x+a+b+1=0的兩個實根為x₁、x₂，并且0＜x₁＜2，x₂＞2，則

b

a-1

的取值范圍是（　　）

• A．（-1，-

  1

  3

  ）
• B．（-3，-1）
• C．（-3，-

  1

  2

  ）
• D．（-3，

  1

  2

  ）

Answer 1

分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜2＜x₂，結合對應二次函數性質得到 然后在平面直角坐標系中，做出滿足條件的可行域，分析

b

a-1

的幾何意義，然后數形結合即可得到結論．

解答：解：由程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次項系數為1＞0，
故函數f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b圖象開口方向朝上
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜2＜x₂，
則

f(0)＞0 f(2)＜0

即

1+a+b＞0 3a+b+7＜0

，其對應的平面區域如下圖陰影示：
則

b

a-1

表示陰影區域上一點與M（1，0）連線的斜率
由題意可得A（-3，2）
由圖可知

b

a-1

∈（-3，-

1

2

）
故選C

點評：本題考查的知識點是一元二次方程的根的分布與系數的關系，三個二次之間的關系，線性規劃，其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜2＜x₂，結合二次函數性質得到 解答本題的關鍵．