Question

已知實(shí)系數(shù)一元二次方程x²+（1+a）x+a+b+1=0的兩個(gè)實(shí)根為x₁，x₂，且 0＜x₁＜1，x₂＞1，則

b

a

的取值范圍是（　　）

• A、(-1，-

  1

  2

  ]
• B、(-1，-

  1

  2

  )
• C、(-2，-

  1

  2

  ]
• D、(-2，-

  1

  2

  )

Answer 1

分析：由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結(jié)合對(duì)應(yīng)二次函數(shù)性質(zhì)得到

f(0)＞0 f(1)＜0

，然后在平面直角坐標(biāo)系中，做出滿足條件的可行域，分析

b

a

的幾何意義，然后數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答：解：由程x²+（1+a）x+1+a+b=0的二次項(xiàng)系數(shù)為1＞0，
故函數(shù)f（x）=x²+（1+a）x+1+a+b圖象開(kāi)口方向朝上
又∵方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，
則

f(0)＞0 f(1)＜0

即

1+a+b＞0 1+1+a+1+a+b＜0

即

1+a+b＞0 3+2a+b＜0

其對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如下圖陰影示：

∵

b

a

表示陰影區(qū)域上一點(diǎn)與原點(diǎn)邊線的斜率
由圖可知

b

a

∈(-2，-

1

2

)
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，三個(gè)二次之間的關(guān)系，線性規(guī)劃，
其中由方程x²+（1+a）x+1+a+b=0的兩根滿足0＜x₁＜1＜x₂，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)得到

f(0)＞0 f(1)＜0

是解答本題的關(guān)鍵．