Question

已知二次函數f（x）滿足f（x+1）-f（x）=2x且f（0）=1．
（1）求f（x）的解析式； 
（2）設g（t）=f（2t+a），t∈[-1，1]，求g（t）的最大值．

Answer 1

分析：（1）設出二次函數的一般形式后，代入f（x+1）-f（x）=2x，化簡后根據多項式相等，各系數相等即可求出a，b及c的值，即可確定出f（x）的解析式；
（2）把x=2t+a代入f（x）的解析式中即可表示出g（t）的函數關系式，由二次函數求對稱軸的方法表示出g（t）的對稱軸，根據對稱軸大于等于0和小于0，分兩種情況考慮，分別畫出相應的函數圖象，根據函數的圖象即可分別得到g（t）的最大值，并求出相應t的范圍，聯立即可得到g（t）最大值與t的分段函數解析式．

解答：解：（1）令f（x）=ax²+bx+c（a≠0）代入f（x+1）-f（x）=2x，
得：a（x+1）²+b（x+1）+c-（ax²+bx+c）=2x，2ax+a+b=2x，
∴

a=1 b=-1 c=1

，
∴f（x）=x²-x+1；
（2）g（t）=f（2t+a）=4t²+（4a-2）t+a²-a+1，t∈[-1，1]
對稱軸為：t=

1-2a

4

，
①當

1-2a

4

≥0時，即：a≤

1

2

；如圖1：
g（t）_max=g（-1）=4-（4a-2）+a²-a+1=a²-5a+7
②當

1-2a

4

時，即：a＞

1

2

；如圖2：
g（t）_max=g（1）=4+（4a-2）+a²-a+1=a²+3a+3，
綜上所述：g（t）_max=

a2-5a+7， a≤ 1 2 a2+3a+3，a＞ 1 2

．

點評：此題考查學生會利用待定系數法求函數的解析式，掌握二次函數的圖象與性質及不等式恒成立時所滿足的條件，考查了分類討論的數學思想，是一道綜合題．