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過曲線y=
x+1
x2
上橫坐標為1的點P處的一條切線的方程為(  )
分析:把x=1代入函數解析式求出P點坐標,設出切點坐標(x0,y0),求出f′(x0),由點斜式得切線方程,把P的坐標代入切線方程求出x0的值,則切線方程可求,逐一核對四個選擇支可得答案.
解答:解:由x=1,得y=
1+1
12
=2
,所以曲線上的點P的坐標為(1,2).
設切點坐標(x0,y0),
y=
-x-2
x3
,所以y|x=x0=
-x0-2
x03

則過曲線y=
x+1
x2
上橫坐標為x0的點的切線的方程為y-
x0+1
x02
=
-x0-2
x03
(x-x0).
代入P點坐標得:2-
x0+1
x02
=-
x0+2
x03
(1-x0)

解得:x0=-1或x0=1
當x0=-1時,切線方程為:y-
-1+1
(-1)2
=
1-2
(-1)3
(x+1)
,即x-y+1=0.
故選D.
點評:本題考查了利用導數研究曲線上某點的切線方程,當切點不在曲線上時,需要設出切點坐標,利用切點坐標得到切線方程后代入已知點的坐標求解,是中檔題也是易錯題.
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