Question

20．已知函數f（x）=ax²+2ax+1，a≠0．
（Ⅰ） 當a=1時，解不等式f（x）＞4；
（Ⅱ） 若函數f（x）在區間（1，2）上恰有一個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）將a的值代入，解不等式即可；（Ⅱ）求出函數的對稱軸，根據函數的單調性以及零點的個數單調f（1）f（2）＜0，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=x²+2x+1，
由f（x）＞4，即（x+1）²＞4，解得：x＞1或x＜-3，
故不等式的解集是（-∞，-3）∪（1，+∞）；
（Ⅱ）f（x）=ax²+2ax+1=a（x+1）²+1-a，
函數的對稱軸是x=-1，故f（x）在（1，2）單調，
若函數f（x）在區間（1，2）上恰有一個零點，
則f（1）f（2）＜0，即（3a+1）（8a+1）＜0，
解得：-$\frac{1}{3}$＜a＜-$\frac{1}{8}$．

點評 本題考查了二次函數的性質，考查函數的單調性、零點問題，是一道中檔題．