Question

已知函數f(x)=(

1

2

)|x+m|+a，且f（x）為偶函數．
（1）求m的值；
（2）若方程f（x）=0有兩個實數解，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據函數f(x)=(

1

2

)|x+m|+a為偶函數，f（-x）=f（x）恒成立，令x=1，則f（-1）=f（1），由此得到關于m的方程，解方程可得m的值；
（2）若方程f（x）=0有兩個實數解，則函數y=-a與y=(

1

2

)|x|有兩個交點，畫出函數圖象，數形結合，可判斷出a的取值范圍．

解答：解：（1）∵函數f(x)=(

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2

)|x+m|+a為偶函數
∴f（-1）=f（1）
即(

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2

)|1+m|=(

1

2

)|-1+m|
∴|m+1|=|m-1|
∴m+1=m-1（舍去），或m+1=1-m
∴m=0
（2）由（1）得函數f(x)=(

1

2

)|x|+a，
函數y=(

1

2

)|x|的圖象如下圖所示：

由圖可知：
當-1＜a＜0，即0＜a＜1時，
y=-a與y=(

1

2

)|x|有兩個交點
∴-1＜a＜0

點評：本題考查的知識點是函數的零點與方程根的關系，函數的奇偶性的定義，是函數圖象和性質的綜合應用，難度不大．