Question

已知等差數列a，b，c中的三個數都是正數，且公差不為零，求證它們的倒數所組成的數列

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差數列．

Answer 1

證明（反證法）：假設

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數列，
則

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

，即

a-b

ba

=

b-c

cb

兩邊乘以b，得

a-b

a

=

b-c

c

，
又∵a，b，c成等差數列，且公差不為零，
∴a-b=b-c≠0．由以上兩式，可知

1

a

=

1

c

．
兩邊都乘以ac，得a=c、
這與已知數列a，b，c的公差不為零，a≠c相矛盾，
所以數列

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差數列