Question

已知等差數(shù)列a，b，c中的三個數(shù)都是正數(shù)，且公差不為零，求證它們的倒數(shù)所組成的數(shù)列

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差數(shù)列．

Answer 1

分析：本題考查等差數(shù)列的證明、反證法的證題方法，由“不可能成等差數(shù)列”自然想到反證法，先假設(shè)數(shù)列

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行推理，由推理結(jié)果矛盾使問題得證．

解答：證明（反證法）：假設(shè)

1

a

，

1

b

，

1

c

成等差數(shù)列，
則

1

b

-

1

a

=

1

c

-

1

b

，即

a-b

ba

=

b-c

cb

兩邊乘以b，得

a-b

a

=

b-c

c

，
又∵a，b，c成等差數(shù)列，且公差不為零，
∴a-b=b-c≠0．由以上兩式，可知

1

a

=

1

c

．
兩邊都乘以ac，得a=c、
這與已知數(shù)列a，b，c的公差不為零，a≠c相矛盾，
所以數(shù)列

1

a

，

1

b

，

1

c

不可能成等差數(shù)列

點(diǎn)評：本題的證明運(yùn)用了反證法． 反證法是一種間接證法，一般地由證明轉(zhuǎn)向證明與假設(shè)矛盾，或與某個真命題矛盾，從而判定為假，推出為真的方法叫做反證法，它是先提出一個與命題的結(jié)論相反的假設(shè)，然后，從這個假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過正確的推理，導(dǎo)致矛盾，從而否定相反的假設(shè)，達(dá)到肯定原命題正確的一種方法．
用反證法證明一個命題的步驟，大體上分為：（1）反設(shè)；（2）歸謬；（3）結(jié)論．