Question

已知f（x）是R上的奇函數，對x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立，若f（1）=2，則f（2011）等于（　　）

A．2011

B．2

C．-1

D．-2

Answer 1

分析：根據條件求出f（2）的值，然后得到f（x+4）=f（x）即函數f（x）是周期為4的函數，又f（1）=2，從而求出f（2011）．

解答：解：∵對任意的x∈R都有f（x+4）=f（x）+f（2）成立
∴f（-2+4）=f（-2）+f（2），即f（-2）=0，
∵f（x）是R上的奇函數，
∴f（2）=-f（-2）=0，
∴f（x+4）=f（x），即函數f（x）是周期為4的函數，又f（1）=2，
∴f（2011）=f（4×503-1）=f（-1）=-f（1）=-2．
故選D．

點評：本題主要考查了函數奇偶性的性質，以及抽象函數及其應用，解題的關鍵是求出f（x+4）=f（x），屬于中檔題．