Question

已知數(shù)列{a_n）中，a₁=，且a_n+1=a_n+（n∈N^*）
（1）令b_n=2ⁿa_n，求數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令c_n=a_n-，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

解：（1）由a_n+1=a_n+（n∈N^*）得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2n+3
由b_n=2ⁿa_n，得b1=1，b_n+1=b_n+2n+3
從而b₂-b₁=5
b₃-b₂=7
…
b_n-b_n-1=2（n-1）+5
以上各式相加得b_n=n²+2n-2（n≥2）
當(dāng)n=1時也適合．∴b_n=n²+2n-2
（2）由（1）得，a_n=所以c_n=a_n-=
所以Sn= ①
上式兩邊乘以得Sn= ②
①-②得Sn==2-，
所以Sn=4-
分析：（1）由a_n+1=a_n+（n∈N^*）得2ⁿ⁺¹a_n+1=2ⁿa_n+2n+3，b_n+1=b_n+2n+3，再用疊加法去求
（2）c_n=a_n-=用錯位相消法求和
點(diǎn)評：本題考查疊加法求通項(xiàng)，錯位相消法求和，考查變形轉(zhuǎn)化能力、計算能力．