Question

矩形ABCD的頂點A、B在直線l：2x+y-4=0上運動，點C，D曲線E：y²=4（x+4）（-4≤x≤4）上運動，求矩形ABCD面積的最大值．

Answer 1

分析：由題意可知曲線是拋物線的一段，聯立直線l：2x+y-4=0與拋物線y²=4（x+4）可求直線與拋物線的交點，結合-4≤x≤4，點（5，-6）不是直線l與曲線E的交點．則可知C、D只能在直線的左側．，設直線CD的方程為：2x+y-b=0，由CD在直線l的左側知：過點(4，-4

2

)可得b≤8-4

2

，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得b＞-

17

2

設C、D兩點的橫坐標為x₁，x₂，則由方程的根與系數關系及弦長公式可求CD，結合|BC|=

|4-b|

5

，則可得矩形ABCD的面積S=|CD|•|BC|=

2b+17

•(4-b)，(-

17

2

＜b＜8-4

2

)
（法一）利用導數知識判斷函數y=S²=（2b+17）（4-b）²=2b³+b²-104b+272的單調性，進而可求函數的最大值
（法二）S=|CD|•|BC|=

2b+17

•(4-b)，(-

17

2

＜b＜8-4

2

)，利用基本不等式可求函數的最大值

解答：解：（法一）由題意可知曲線是拋物線的一段，聯立直線l：2x+y-4=0與拋物線y²=4（x+4）
可得

2x+y-4=0 y2=4(x+4)

，解得

x=0 y=4

或

x=5 y=-6

因為-4≤x≤4，所以（5，-6）不是直線l與曲線E的交點．故C、D只能在直線的左側．
設直線CD的方程為：2x+y-b=0，其中b為截距，由CD在直線l的左側知：過點(4，-4

2

)時，b取最大值，得b≤8-4

2

，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，
由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得b＞-

17

2

-----------（5分）．
設C、D兩點的橫坐標為x₁，x₂，則x1+x2=b+1，x1x2=

b2-16

4

，
∴CD=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(2b+17)

，又|BC|=

|4-b|

5

-----------（8分），
從而矩形ABCD的面積S=|CD|•|BC|=

2b+17

•(4-b)，(-

17

2

＜b＜8-4

2

)--（10分）．
令y=S²=（2b+17）（4-b）²=2b³+b²-104b+272，
y′=6b²+2b-104=（b-4）（6b+26），
當-

17

2

＜b＜-

13

3

時，y′＞0，函數y=2b³+b²-104b+272，在（-

17

2

，-

13

3

）上單調遞增
-

13

3

＜b＜8-4

2

時，y′＜0，函數y=2b³+b²-104b+272，在[-

13

3

，8-4

2

)上單調遞減
所以，b=-

13

3

時，S取極大值，也是最大值，
矩形ABCD的面積的最大值為

125 3

9

-----------（15分）．
（法二）由題意可知曲線是拋物線的一段，聯立直線l：2x+y-4=0與拋物線y²=4（x+4）
可得

2x+y-4=0 y2=4(x+4)

，解得

x=0 y=4

或

x=5 y=-6

因為-4≤x≤4，所以（5，-6）不是直線l與曲線E的交點．故C、D只能在直線的左側．
設直線CD的方程為：2x+y-b=0，其中b為截距，由CD在直線l的左側知：過點(4，-4

2

)時，b取最大值，得b≤8-4

2

，
由y²=4（x+4）及2x+y-b=0，消去y得4x²-（4b+4）x+b²-16=0，
由△=（4b+4）²-4•4•（b²-16）=16（2b+17）＞0，得b＞-

17

2

-----------（5分）．
設C、D兩點的橫坐標為x₁，x₂，則x1+x2=b+1，x1x2=

b2-16

4

，
∴CD=

5[(x1+x2)2-4x1x2]

=

5(2b+17)

，又|BC|=

|4-b|

5

-----------（8分），
從而矩形ABCD的面積S=|CD|•|BC|=

2b+17

•(4-b)，(-

17

2

＜b＜8-4

2

)--（10分）．
∵（2b+17）+（4-b）+（4-b）=25
∴S=

2b+17

•(4-b)=

2b+17

•

4-b

•

4-b

≤

( 2b+17+4-b+4-b 3 )3

=

( 25 3 )3

=

125 3

9

當且僅當2b+17=4-b時，即b=-

13

3

時取得最大值．

點評：本題主要考查了直線與拋物線的相交關系的應用，方程的根與系數關系的應用，及利用導數知識判斷函數的 單調性，求解函數的最值及利用基本不等式求解函數的最值，屬于函數知識的綜合應用．