Question

某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，已知AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現要在矩形ABCD的區域上（含邊界），且A、B與等距離的一點O處建造一個污水處理廠，并鋪設排污管道AO、BO、OP，設排污管道的總長為ykm．
（1）設∠BAO=θ（rad），將y表示成θ的函數關系式；
（2）試確定污水處理廠的位置，使三條排污管道總長度最短．

Answer 1

分析：（1）直接由已知條件求出AO、BO、OP的長度，即可得到所求函數關系式；
（2）直接根據上面的結論求出其導函數，得到函數的單調性，根據單調性即可求出其最值．

解答：解：（1）由條件知PQ垂直平分AB，若∠BAO=θ（rad），
則OA=

AQ

cos∠BAO

=

10

cosθ

，故OB=

10

cosθ

又OP=10-10tanθ，所以y=OA+OB+OP=

10

cosθ

+

10

cosθ

+10-10tanθ
所求函數關系式為y=

20-10sinθ

cosθ

+10

&(0≤θ≤ π 4 )

（2）y′=

-10cosθcosθ-(20-10sinθ)(-sinθ)

cos2θ

=

10(2sinθ-1)

cos2θ

令y'=0得sinθ=

1

2

∵0≤θ≤

π

4

∴θ=

π

6

當θ∈(0，

π

6

)時y'＜0，y是θ的減函數；當θ∈(

π

6

，

π

4

)時y'＞0，y是θ的增函數；
所以當θ=

π

6

時，ymin=

20-10× 1 2

3 2

+10=10

3

+10
此時點O位于線段AB的中垂線上，且距離AB邊

10 3

3

km處．

點評：本題主要考查解三角形的實際應用以及利用導數求閉區間上函數的最值．解決這類問題的關鍵在于把文字語言轉換為數學符號，用數學知識解題．