Question

已知展開式中偶數項二項式系數的和比（1+x）ⁿ展開式的各項系數和大112．
（Ⅰ）求n的值；
（Ⅱ）在（1）的條件下，求（1-x）²ⁿ展開式中系數最大的項；
（Ⅲ）在（1）的條件下，求展開式中的所有的有理項．

Answer 1

解：（1）由題意可得 2^2n-1=2ⁿ=112，2²ⁿ-2•2ⁿ-224=0，解得 n=4．…..（4分）
（2）由n=4，（1-x）²ⁿ =（1-x）⁸，從而，（1-x）⁸展開式中系數最大的項是：T₅= （-x）⁴=70x⁴． …（8分）
（Ⅲ）設有理項為第r+1項，則 T_r+1=••=••，∴．
令=k 則，r=4-k，∴k=-2，0，2，即 r=1，4，7．
所以第2項，第5項，第8項為有理數，它們分別是 T₂=- •x²=-4x²，T₅=••x⁰=，
T₈=••x^-2．…..13 分
分析：（1）由題意可得 2^2n-1=2ⁿ=112，由此求得n的值．
（2）由n=4，（1-x）²ⁿ =（1-x）⁸，從而可得（1-x）⁸展開式中系數最大的項是第五項，根據通項公式求得 T₅．
（Ⅲ）設有理項為第r+1項，根據通項公式 可得 ，求得r=1，4，7，從而得到展開式中的所有的有理項．
點評：本題主要考查二項式定理的應用，二項式展開式的通項公式，求展開式中某項的系數，屬于中檔題．