Question

已知等差數列{a_n}中，a₁=1，a₃=3；
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}的前k項和S_k=36，求k的值；
（3）證明：數列{a_n-1}也是等差數列．

Answer 1

考點：等差關系的確定,等差數列的通項公式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）設等差數列{a_n}的公差是d，由題意和等差數列的通項公式求出d，再代入等差數列的通項公式化簡即可；
（2）由（1）和等差數列的前n項和公式可得Sn=

n(1+n)

2

，列出關于k的方程再求出k的值；
（3）由（1）可得a_n-1=n-1，利用等差數列的定義證明數列{a_n-1}是等差數列．

解答： 解：（1）設等差數列{a_n}的公差是d，
因為a₁=1，a₃=3，所以d=

a3-a1

3-1

=1，
則a_n=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）得，Sn=

n(1+n)

2

，
所以S_k=

k(1+k)

2

=36，解得k=9或k=-8（舍去），
則k的值是9；
證明：（3）由（1）可得，a_n-1=n-1，
所以（a_n+1-1）-（a_n-1）=a_n+1-a_n=d=1，
所以數列{a_n-1}是以1為公差的等差數列．

點評：本題考查等差數列的證明：定義法，以及等差數列的通項公式、前n項和公式，屬于中檔題．