Question

必做題, 本小題10分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
如圖，在底面邊長為1，側(cè)棱長為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.
（1）當(dāng)時(shí)，求直線AP與平面BDD1B1所成角的度數(shù)；
（2）在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)，使得對任意的m，⊥AP，并證明你的結(jié)論.

Answer 1

（1）60º
（2）Q為的中點(diǎn)時(shí)

（１）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則

A(1,0,0),  B(1,1,0),  P(0,1,m)，C(0,1,0),  D(0,0,0),
B1(1,1,1),  D1(0,0,2).
所以

又由的一個(gè)法向量.
設(shè)與所成的角為，
則=，
解得.故當(dāng)時(shí)，直線AP與平面所成角為60º. ………5分
（２）若在上存在這樣的點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，
則.
依題意，對任意的m要使D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP. 等價(jià)于

即Q為的中點(diǎn)時(shí)，滿足題設(shè)的要求.                ……………10分