Question

已知二次函數f（x）=x²-ax+a（x∈R）同時滿足：
①不等式f（x）≤0的解集有且只有一個元素；
②在定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
設數列{a_n}的前n項和S_n=f（n），
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）數列{b_n}中，令bn=

1，  n=1 an+5 2 ，n≥2

，T_n=b121+b222+b323+…+bn2n，求T_n；
（3）設各項均不為零的數列{c_n}中，所有滿足c_i•c_i+1＜0的正整數i的個數稱為這個數列{c_n}的變號數．令cn=1-

a

an

（n為正整數），求數列{c_n}的變號數．

Answer 1

分析：（1）由f（x）≤0的解集有且只有一個元素可知△=a²-4a=0，從而可求得a值，又定義域內存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，對a進行檢驗取舍，可確定a值，利用S_n與a_n的關系即可求得a_n．
（2）由（1）求得b_n，根據其結構特征利用錯位相減法即可求得T_n；
（3）先求出C_n，判斷n≥3時數列的單調性，根據變號數的定義可得n≥3時的變號數，根據c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，可得此處變號數，從而可求得數列{c_n}的變號數．

解答：解：（1）∵f（x）≤0的解集有且只有一個元素，
∴△=a²-4a=0⇒a=0或a=4，
當a=0時，函數f（x）=x²在（0，+∞）上遞增，
故不存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立，
當a=4時，函數f（x）=x²-4x+4在（0，2）上遞減，
故存在0＜x₁＜x₂，使得不等式f（x₁）＞f（x₂）成立．
綜上，得a=4，f（x）=x²-4x+4，
∴Sn=n2-4n+4，
∴an=Sn-Sn-1=

1，  n=1 2n-5，n≥2

；
（2）∵bn=

1，  n=1 an+5 2 ，n≥2

=

1，n=1 2n-5+5 2 ，n≥2

，
∴b_n=n，
Tn=1×2+2×22+3×23+…+n×2n，①
2Tn=1×22+2×23+3×24+…+(n-1)×2n+n×2n+1，②
①-②得，-T_n=2+2²+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹，
∴Tn=(n-1)2n+1+2；
（3）由題設cn=

-3，n=1 1- 4 2n-5 ，n≥2

∵n≥3時，cn+1-cn=

4

2n-5

-

4

2n-3

=

8

(2n-5)(2n-3)

＞0，
∴n≥3時，數列{c_n}遞增，
∵a4=-

1

3

＜0，由1-

4

2n-5

＞0⇒n≥5，
可知a₄•a₅＜0，即n≥3時，有且只有1個變號數；
又∵c₁=-3，c₂=5，c₃=-3，
即c₁•c₂＜0，c₂•c₃＜0，
∴此處變號數有2個．
綜上得 數列{c_n}共有3個變號數，即變號數為3；

點評：本題考查數列與函數的綜合，考查學生綜合運用所學知識分析問題解決問題的能力，考查學生解決新問題的能力，綜合性強，難度大，對能力要求高．